Kategorie: Szkoła podstawowa, Klasy 4-6, Klasa 6 SP, Algebra, Równania
Rozwiązać równanie to inaczej znaleźć liczbę, która go spełnia. W najprostszych przypadkach można po prostu zgadnąć tę liczbę, jednak przy bardziej skomplikowanych przykładach należy skorzystać z innych dostępnych metod.
Najczęściej stosowaną metodą jest metoda równań równoważnych. Polega to na przekształceniu pierwotnego, złożonego równania na szereg prostszych o tych samych rozwiązaniach. Robimy to za pomocą wykonywania działań na obu stronach równania lub poprzez uproszczenie jednej strony. Omówmy teraz prosty przykład równania:
2x + 3 = 7
Jak możemy go rozwiązać? Wygodnie możemy porównać równanie do sytuacji na szalkach wagi.
Z obu szalek zabieramy 3 odważniki. Waga pozostaje w równowadze.
Z obu szalek zabieramy połowę ciężaru. Waga pozostaje w równowadze.
Aby rozwiązać równanie, wykonujemy działania odwrotne do tych, które są w wyrażeniu. Przypomnijmy je sobie:
| Działanie | Działanie odwrotne |
|---|---|
| dodawanie (+) | odejmowanie (−) |
| odejmowanie (−) | dodawanie (+) |
| mnożenie (∙) | dzielenie (:) |
| dzielenie (:) | mnożenie (∙) |
Dosyć ważną własnością równań jest to, że ich strony są przemienne - to znaczy, że można je zamieniać.
2x + 3 = 5 i 5 = 2x + 3 to te same równania.
Zanim przejdziemy do rozwiązywania, rozpatrzmy krótszą formę zapisu naszych obliczeń. Wcześniej przedstawiłem zapis za pomocą ilustracji wag oraz za pomocą strzałek. Jednak najwydajniej jest zapisać kroki w skróconej formie obok równania. Napiszmy nasze obliczenia w tej postaci:
Zapis ten może sprawiać kłopot dla początkujących, ale jest on zdecydowanie bardziej profesjonalny.
Równania z liczbami ujemnymi
Rozwiązaniem równania nie jest zawsze czysta liczba bez części ułamkowej. Przyjrzymy się temu przykładowi:
4x = 9
Wiemy, że 9 nie jest podzielne przez 4. Co należy zrobić? Otóż, wystarczy dopisać kreskę ułamkową i mianownik 4.
Nawet współczynnik w równaniu może być ułamkiem. Wtedy stosujemy zasadę: dzieląc przez ułamek, mnożymy przez jego odwrotność.
9 : 34 = 93 ∙ 431 = 12
14 : 57 = 14 ∙ 75 = 985 = 19 35
Ćwiczenie 1. Rozwiąż równania. Kliknij przykład, aby wyświetlić rozwiązanie.
Równanie dwuetapowe, to jak nazwa wskazuje - równanie, gdzie trzeba wykonać dwa kroki, aby otrzymać rozwiązanie. Wyobraź sobie, że x to prezent. Gdy mamy np. równanie:
3x + 2 = 8
To 3x jest papierem, w który jest owinięty, a + 2 to wstążka. Rozwiązanie takiego równania możemy porównać do odpakowania prezentu.
Najmniej ważne działania pozbywamy się jako pierwsze (dodawanie, odejmowanie), a później pozbywamy się mnożenia/dzielenia.
Ćwiczenie 2. Rozwiąż równania.
Zobacz temat: „Upraszczanie wyrażeń algebraicznych [6]”.
Zanim zaczniemy rozwiązywać równanie, warto uprościć oba strony jak najbardziej jak się da.
Ćwiczenie 3. Rozwiąż równania.
Co należy zrobić, gdy mamy niewiadomą po obu stronach równania? Dane jest równanie:
3x + 2 = x + 7
Czy da się coś odjąć obustronnie, aby pozbyć się x-a? Otóż tak! Najwygodniej jest odjąć wyraz, gdzie x ma najmniejszy współczynnik. W naszym przykładzie jest to x. Po tym przekształceniu mamy do czynienia ze zwykłym równaniem dwuetapowym.
Ćwiczenie 4*. Rozwiąż równania.
Zalecam powtórzyć materiał z kategorii: „Geometria” do tematu pt. „Pole trapezu [6]”.
Równania bardzo często opisują zależności w fizyce, chemii i innych dziedzinach nauki - skupimy się tutaj na geometrii. Przypomnij sobie najważniejsze wzory geometryczne, ponieważ tutaj Ci się przydadzą.
Omówię teraz kilka przykładów związanych z kątami, obwodami i polem.
Kąty. Znajdź miarę kąta α.
Suma miar kątów wokół punktu wynosi 360°, zatem:
Suma miar kątów w trójkącie. Znajdź x i podaj miary kątów tego trójkąta.
Suma miar kątów w trójkącie wynosi 180°, zatem:
Obliczamy kąty: 2x = 2 ∙ 20 = 40, 3x = 3 ∙ 20 = 60.
Miary kątów tego trójkąta to 40°, 60° i 80°.
Obwód figury. Znajdź y, jeżeli obwód sześciokąta na rysunku wynosi 60 cm.
Figura jest złożona z dwóch prostokątów. Da się znaleźć długości boków nieoznaczonych poprzez zsumowanie boków poziomych/pionowych.
2y + y = 3y - długość boku na dole
1,5y + 0,5y = 2y - długość boku po lewej
Pole trójkąta. Znajdź x (podstawę trójkąta).
Wiadomo, że pole trójkąta wynosi 36 oraz że jego wysokość jest równa 4. Wzór na pole trójkąta:
P = a ∙ h2
Wiemy, że h = 4, a możemy wprowadzić oznaczenie, że a = x. Więc:Ćwiczenie 5. Ułóż odpowiednie równania i je rozwiąż.
1. Rozwiąż równania.
2. Rozwiąż równania.
3. Rozwiąż równania.
4. Zapisz równania w prostszej postaci i je rozwiąż.
5. Ułóż i rozwiąż odpowiednie równania.
6. Ułóż i rozwiąż odpowiednie równania.
*7. Wyrażenia 2x + 3 i 4x + 1 maja dla pewnej liczby x taką samą wartość. Jaką?
*8. Jeżeli liczbę x zmniejszymy o połowę, a następnie wynik zwiększymy sześciokrotnie otrzymamy kwadrat liczby 9. Znajdź liczbę x.
| Poprzedni temat | Następny temat | |
| ← Liczba spełniająca równanie [6] | Rozwiązywanie równań [6] | Zadania tekstowe [6] → |
Kategorie: Szkoła podstawowa, Klasy 4-6, Klasa 6 SP, Algebra, Równania
